חוברת לימוד תצוגה מקדימה (תצוגה מקדימה: חלקים 1 עד 2 מתוך 11) מאת: פניאל מרגליות

אינטרפולציה וקירוב פולינומיאלי

פרק 2 - למידה מודרכת ותרגול מעמיק

משויך לקורסים: אנליזה נומרית — הנדסת חשמל / מכללה אנליזה נומרית — הנדסת מכונות / מכללה אנליזה נומרית — הנדסה כימית / מכללה אנליזה נומרית — הנדסת בניין / מכללה

אינטרפולציה וקירוב פולינומיאלי

פרק 2 - למידה מודרכת ותרגול מעמיק

ברוכים הבאים ללימוד מעמיק ומדורג. פרק זה מעניק ליווי שלב-אחר-שלב, דוגמאות מודרכות ותרגול יישומי מקיף להבטחת שליטה מלאה בחומר.

מטרות למידה מרכזיות:

1. פולינום האינטרפולציה של לגראנז'

רעיון מרכזי המשמעות של אינטרפולציה פולינומיאלית וקירוב עקומות

אינטרפולציה פולינומיאלית היא אחד הכלים היסודיים ביותר בעיבוד נתונים נומרי ובהנדסה. כאשר בידינו אוסף של מדידות ניסיוניות דיסקרטיות, אנו מחפשים פונקציה רציפה וחלקה שתעבור במדויק דרך כל הנקודות הידועות. משפט היחידות מבטיח שעבור n+1 נקודות שונות קיים פולינום יחיד ממעלה לכל היותר n העובר דרכן.

רעיון מרכזי פולינומי הבסיס של לגראנז'

צורת לגראנז' מציגה את פולינום האינטרפולציה כסכום משוקלל של פולינומי בסיס יסודיים המקבלים ערך 1 בנקודה אחת ומתאפסים בכל האחרות.

P_{n} (x) = \sum_{i = 0}^{n} y_{i} L_{i} (x), L_{i} (x) = \prod_{j = 0, j \neq i}^{n} \frac{x - x_{j}}{x_{i} - x_{j}}

תרגיל 1

רמת קושי: בסיסי

מצאו את פולינום האינטרפולציה העובר דרך שלוש הנקודות (0, 1), (1, 3), (2, 7) באמצעות בסיסי לגראנז', וחשבו את ערכו בנקודה x=1.5:

(x_{0}, y_{0}) = (0, 1), (x_{1}, y_{1}) = (1, 3), (x_{2}, y_{2}) = (2, 7)

פתרון מודרך

שלב 1: נחשב את פולינומי הבסיס של לגראנז' L0, L1, L2.

שלב 2: L0(x) = ((x - 1)(x - 2)) / ((0 - 1)(0 - 2)) = (x^2 - 3x + 2) / 2.

שלב 3: L1(x) = ((x - 0)(x - 2)) / ((1 - 0)(1 - 2)) = (x^2 - 2x) / (-1) = -x^2 + 2x.

שלב 4: L2(x) = ((x - 0)(x - 1)) / ((2 - 0)(2 - 1)) = (x^2 - x) / 2.

שלב 5: נרכיב את הפולינום: P2(x) = 1 L0(x) + 3 L1(x) + 7 L2(x) = 0.5(x^2 - 3x + 2) + 3(-x^2 + 2x) + 3.5(x^2 - x) = x^2 + x + 1.

שלב 6: נציב x = 1.5: P2(1.5) = (1.5)^2 + 1.5 + 1 = 2.25 + 1.5 + 1 = 4.75.

פולינום לגראנז' ריבועי והערכה:

P_{2} (x) = x^{2} + x + 1, P_{2} (1.5) = 4.75

תרגיל 25

רמת קושי: בסיסי

חיישן טמפרטורה מפיק מתח V בהתאם לטמפרטורה T. בניסוי נמדדו שלוש נקודות: (100 מעלות, 1.2 וולט), (200 מעלות, 2.5 וולט), (300 מעלות, 4.0 וולט). מצאו את פולינום האינטרפולציה הריבועי המנבא את המתח לכל טמפרטורה T:

(T_{0}, V_{0}) = (100, 1.2), (T_{1}, V_{1}) = (200, 2.5), (T_{2}, V_{2}) = (300, 4.0)

פתרון מודרך

שלב 1: נשתמש בטרנספורמציה x = (T - 100)/100 כדי לפשט חישובים: עבור T=100 מתקבל x=0, עבור T=200 מתקבל x=1, ועבור T=300 מתקבל x=2.

שלב 2: הנקודות המנורמלות הן (0, 1.2), (1, 2.5), (2, 4.0).

שלב 3: נבנה פולינום ריבועי: V(x) = a x^2 + b x + c. ב-x=0 מתקבל c = 1.2.

שלב 4: ב-x=1: a + b + 1.2 = 2.5 => a + b = 1.3.

שלב 5: ב-x=2: 4a + 2b + 1.2 = 4.0 => 4a + 2b = 2.8 => 2a + b = 1.4.

שלב 6: נחסר: a = 1.4 - 1.3 = 0.1, ולכן b = 1.2. מתקבל V(x) = 0.1 x^2 + 1.2 x + 1.2 וולט.

כיול חיישן טמפרטורה פולינומיאלי:

V (x) = 0.1 x^{2} + 1.2 x + 1.2 (x = \frac{T - 100}{100})

🔒

המשך צפייה למנויי PnielAcademy

רכישת מנוי PnielAcademy התחבר לחשבון

אינטרפולציה וקירוב פולינומיאלי

המשך צפייה למנויי PnielAcademy

📚 תכנים נוספים בקורס זה

שגיאות מחשב ופתרון משוואות לא-לינאריות

גזירה ואינטגרציה נומרית

פתרון מערכות משוואות לינאריות

מעדיפים ליווי אישי לצד מערכת הלמידה?