מיון משוואות וצורות קנוניות
מיון משוואות וצורות קנוניות
פרק 1 — למידה מודרכת ותרגול מעמיק
משוואות דיפרנציאליות חלקיות (מד"ח) הן השפה הבסיסית שבה מנוסחים חוקי הפיזיקה וההנדסה — החל מהתפשטות גלים אלקטרומגנטיים וקול, דרך דיפוזיה והולכת חום בחומרים, ועד לשדות פוטנציאל גרביטציוניים ואלקטרוסטטיים. לפני שניתן לגשת לפתרון משוואה, עלינו לזהות את אופייה המתמטי והפיזיקלי המהותי: האם מידע נע במהירות סופית לאורך מאפיינים (משוואה היפרבולית), האם הפרעות מתפשטות במהירות אינסופית ומחליקות באופן בלתי הפיך (משוואה פרבולית), או שמא המערכת מתארת שיווי משקל סטטי שבו כל נקודה מושפעת בו-זמנית מכל שפות התחום (משוואה אליפטית)? חוברת זו מעניקה את הכלים המתמטיים המדויקים למיון משוואות מסדר שני, מציאת עקומות המאפיינים, והבאת המשוואה לצורתה הקנונית הפשוטה והאלגנטית ביותר המאפשרת פתרון ישיר.
מטרות למידה מרכזיות:
- זיהוי ומיון משוואות דיפרנציאליות חלקיות ליניאריות וקוואזי-ליניאריות מסדר ראשון ושני
- חישוב הדיסקרימיננטה Delta = B^2 - 4AC וקביעת הטיפוס: היפרבולי, פרבולי או אליפטי
- בניית המשוואה הדיפרנציאלית של המאפיינים ופתרונה למציאת קווי המאפיינים
- ביצוע טרנספורמציית קואורדינטות (xi, eta) והבאת המשוואה לצורה קנונית
- פתרון מד"ח כלליות מסדר שני באמצעות אינטגרציה עוקבת של הצורה הקנונית
1. מבוא, הגדרות ומיון משוואות מסדר שני בשני משתנים
משוואה דיפרנציאלית חלקית ליניארית מסדר שני בשני משתנים בלתי תלויים PNIELMATHINLINE0 ו- PNIELMATHINLINE1 נכתבת בצורה הכללית:
האופי של המשוואה בכל נקודה במישור נקבע אך ורק על ידי מקדמי הנגזרות הראשיות PNIELMATHINLINE0 באמצעות הדיסקרימיננטה:
קיימים שלושה מקרים מהותיים: כאשר הדיסקרימיננטה חיובית המשוואה היפרבולית, כאשר היא אפס המשוואה פרבולית, וכאשר היא שלילית המשוואה אליפטית.
עקומות המאפיינים הן מסלולים במישור שלאורכם נגזרות מסוימות אינן ניתנות לקביעה חד-חד-ערכית מתנאי קושי. משוואת המאפיינים מתקבלת ישירות מהמקדמים:
אינטגרציה של המשוואה הדיפרנציאלית הרגילה נותנת את המשפחות PNIELMATHINLINE0 ו- PNIELMATHINLINE1, המשמשות כקואורדינטות החדשות לבניית הצורה הקנונית.