רכישת מנוי
אזור הלימוד קורסים תוכן לימודי אודות צור קשר לרכישת מנוי התחברות
לכל הקורסים · התאמת מסלול אישי
המשימה הבאה: תרגול ממוקד — אינטגרלים לא אמיתיים - 15 דקות
🌱 שיעור היכרות וקביעת קצב
AI Mascot PnielAcademy Ai Assist

יסודות המרחב התלת-ממדי, וקטורים וגאומטריה אנליטית

📖 BOOK • 13 עמודים/חלקים • מאת: פניאל מרגליות
PnielAcademy | חדו״א 2
חוברת B00

יסודות המרחב התלת-ממדי, וקטורים וגאומטריה אנליטית

מערכת צירים R³, אלגברה של וקטורים, מכפלות סקלרית ווקטורית, ישרים ומישורים

מטרות למידה מרכזיות:

1. המרחב התלת-ממדי R³ ומערכת הצירים הקרטזית

ברוכים הבאים לחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי 2. בקורס זה אנו פורצים את גבולות הישר הממשי והמישור הדו-ממדי אל המרחב התלת-ממדי ומעבר לו. כל תופעה פיזיקלית והנדסית בעולם האמיתי — מזרימת נוזלים ושדות כבידה ועד לעיצוב מבנים ורובוטיקה — מתרחשת במרחב רב-ממדי. נקודת המוצא שלנו היא מערכת הצירים הקרטזית הימנית ב-R³.

רעיון מרכזי מערכת צירים ימנית ומרחק בין שתי נקודות במרחב

כל נקודה במרחב מאופיינת בשלשה סדורה של מספרים ממשיים (x, y, z). המרחק בין שתי נקודות P₁(x₁, y₁, z₁) ו-P₂(x₂, y₂, z₂) מתקבל מהכללת משפט פיתגורס למרחב התלת-ממדי:

d(P1,P2)=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2

משוואת כדור בעל רדיוס R שמרכזו בנקודה (x₀, y₀, z₀) היא אוסף כל הנקודות שמרחקן מהמרכז שווה ל-R:

(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=R2
z y x P(x_0, y_0, z_0) מערכת צירים ימנית תלת-ממדית עם הטלת נקודה
מערכת צירים קרטזית תלת-ממדית והטלת נקודה

תרגיל 1

רמת קושי: בסיסי

נתונות הנקודות A(1, -2, 4) ו-B(4, 2, -8). מצאו את המרחק ביניהן, וכתבו את משוואת הכדור שקטע AB הוא קוטרו.

פתרון מודרך

שלב ראשון: חישוב המרחק באמצעות נוסחת המרחק האוקלידי:

d(A,B)=(4−1)2+(2−(−2))2+(−8−4)2
=32+42+(−12)2=9+16+144
=169=13

שלב שני: מרכז הכדור M הוא אמצע הקטע AB:

M=(1+42,−2+22,4−82)=(52,0,−2)

רדיוס הכדור הוא מחצית הקוטר: R = 13/2. משוואת הכדור:

(x−52)2+y2+(z+2)2=1694
מרחק ומשוואת הכדור:
d=13,(x−52)2+y2+(z+2)2=1694

2. וקטורים גאומטריים ואלגבריים במרחב

וקטור במרחב מאופיין בגודל (אורך או נורמה) ובכיוון. מבחינה אלגברית, וקטור מוצג על ידי רכיביו u = (u₁, u₂, u₃) או בבסיס הסטנדרטי i, j, k. חיבור וקטורים וכפל בסקלר מוגדרים איבר-איבר.

🔒

המשך חומר הלימוד זמין למנויים

התחברות לחשבון מנוי ←