כאשר אנו פוגשים שתי משוואות לינאריות בשני נעלמים, אנו מתבוננים למעשה בשני ישרים במישור. שלושה מצבים גיאומטריים בלבד יכולים להתרחש: הישרים נחתכים בנקודה בודדת (פתרון יחיד), הישרים מקבילים ואינם נפגשים (אין פתרון), או שהם מתלכדים לישר אחד (אינסוף פתרונות).

מטרת הפרק היא לתרגם את ההבנה הגיאומטרית הזו לכלי אלגברי שיטתי ורב-עוצמה - דירוג גאוס של מטריצות. באמצעות שלוש פעולות שורה אלמנטריות בלבד, נוכל לפשט כל מערכת משוואות מבלי לשנות את מרחב הפתרונות שלה.

לפי משפט קרונקר-קפלי, למערכת קיים פתרון אם ורק אם דרגת מטריצת המקדמים שווה לדרגת המטריצה המורחבת. אם הדרגה שווה למספר הנעלמים, קיים פתרון יחיד; אם הדרגה קטנה ממספר הנעלמים, קיימים אינסוף פתרונות התלויים במשתנים חופשיים.