יסודות האריתמטיקה, שברים, חזקות ושפת האלגברה
יסודות האריתמטיקה, שברים, חזקות ושפת האלגברה
ציר המספרים, מספרים מכוונים, שברים, חוקי חזקות ושורשים, וביטויים אלגבריים
פרק זה מתמקד ב-יסודות האריתמטיקה: ציר המספרים, מספרים מכוונים, סדר פעולות וסוגריים. הנושאים והכלים הנרכשים כאן מהווים נדבך הכרחי לבניית השליטה הנדרשת לבחינת הבגרות.
1. ציר המספרים ומשמעות המספרים המכוונים
במתמטיקה ברמת ארבע יחידות, מספר אינו רק כלי לספירת עצמים בדידים. מספר הוא גודל שיכול לבטא מיקום, שינוי וכיוון לאורך ציר רציף.
ציר המספרים מסדר את כל המספרים הממשיים ביחס לנקודת האפס. תנועה ימינה מבטאת גדלים חיוביים, ותנועה שמאלה מבטאת גדלים שליליים. הבנה עמוקה של ציר המספרים חיונית להבנת משוואות ופונקציות.
הערך המוחלט של מספר מוגדר כמרחקו מנקודת האפס על ציר המספרים. מכיוון שמרחק הוא תמיד גודל חיובי או אפס, הערך המוחלט לעולם אינו שלילי.
הסימון בעזרת קווים ישרים אנכיים מורה לנו לקחת את הגודל ללא הסימן השלילי.
תרגיל 8: חישוב ביטוי המכיל ערך מוחלט
רמת קושי: בינוניחשבו את תוצאת הביטוי הכולל ערך מוחלט:
שלב ראשון: מחשבים את הערך המוחלט הראשון: הערך המוחלט של מינוס שמונה הוא שמונה.
שלב שני: מחשבים את הביטוי שבתוך הערך המוחלט השני: שלוש פחות תשע שווה מינוס שש. הערך המוחלט של מינוס שש הוא שש.
שלב שלישי: מבצעים את פעולת החיסור: שמונה פחות שש שווה שתיים.
2. פעולות חיבור וחיסור במספרים מכוונים
כאשר מחברים שני מספרים בעלי סימנים זהים, מחברים את הגדלים שלהם ושומרים על הסימן המשותף. למשל, סכום של שני חובות הוא חוב גדול יותר.
כאשר מחברים שני מספרים בעלי סימנים שונים, מחסרים את הגודל הקטן מהגודל הגדול, והסימן נקבע על פי המספר בעל הערך המוחלט הגדול יותר.
מומלץ להתייחס לכל סימן חיסור כאל סימן המשתייך למספר שבא מיד אחריו. כך הופך ביטוי של חיבור וחיסור לסכום של מספרים מכוונים.
כאשר מופיע מינוס לפני סוגריים ובתוכם מספר שלילי, שני סימני המינוס מבטלים זה את זה והופכים לסימן פלוס יחיד.
תרגיל 1: חיסור והפרש על ציר המספרים
רמת קושי: בסיסיחשבו בעזרת ציר המספרים את תוצאת הביטוי הבא:
שלב ראשון: נקודת המוצא על ציר המספרים היא ארבע.
שלב שני: פעולת החיסור פירושה תנועה של תשע יחידות שמאלה. ארבע יחידות מביאות אותנו לאפס, וחמש יחידות נוספות מביאות אותנו למינוס חמש.
תרגיל 2: חיבור מספרים שליליים
רמת קושי: בסיסיחשבו את תוצאת החיבור הבאה:
שלב ראשון: שני המספרים שליליים, ולכן מחברים את הערכים המוחלטים שלהם: שבע ועוד חמש שווה שתים עשרה.
שלב שני: שומרים על הסימן השלילי ומקבלים מינוס שתים עשרה.
תרגיל 3: שלילה כפולה וחיסור מספר שלילי
רמת קושי: בסיסיחשבו את ערכו של הביטוי המכיל שלילה כפולה:
שלב ראשון: חיסור של מספר שלילי שקול לחיבור המספר הנגדי החיובי.
שלב שני: שתים עשרה ועוד שמונה שווה עשרים.