יסודות האריתמטיקה, שברים, חזקות ושפת האלגברה
יסודות האריתמטיקה, שברים, חזקות ושפת האלגברה
ציר המספרים, ערך מוחלט, שברים, חוקי חזקות ושורשים, וביטויים אלגבריים
פרק זה מתמקד ב-יסודות האריתמטיקה: ציר המספרים, מספרים מכוונים, סדר פעולות וסוגריים. הנושאים והכלים הנרכשים כאן מהווים נדבך הכרחי לבניית השליטה הנדרשת לבחינת הבגרות.
1. ציר המספרים, מספרים חיוביים ושליליים וערך מוחלט
כדי להתחיל את מסלול חמש היחידות ברגל ימין, עלינו לוודא כי מושגי היסוד האריתמטיים ברורים ואינטואיטיביים לחלוטין. הדרך הפשוטה והטבעית ביותר להבין מספרים היא באמצעות ציר המספרים.
ציר המספרים הוא ישר אופקי שבו נקודת האפס היא נקודת הייחוס המרכזית. כל המספרים החיוביים נמצאים מימין לאפס, וכל המספרים השליליים נמצאים משמאל לאפס. ככל שמספר נמצא ימינה יותר על הציר, כך הוא גדול יותר.
הערך המוחלט של מספר הוא פשוט המרחק שלו מנקודת האפס על גבי ציר המספרים. מכיוון שמרחק נמדד תמיד בצעדים חיוביים, הערך המוחלט לעולם אינו שלילי.
נסמן ערך מוחלט בעזרת שני קווים אנכיים מסביב למספר. הנה כמה דוגמאות בסיסיות:
המספר שלוש והמספר מינוס שלוש נקראים מספרים נגדיים. הם נמצאים באותו מרחק מנקודת האפס, אך בכיוונים מנוגדים.
תרגיל 1: זיהוי סימן ומיקום ביחס לאפס על ציר המספרים
רמת קושי: בסיסינתונים המספרים הבאים: ארבע, מינוס חמש, ואפס. קבעו עבור כל מספר האם הוא חיובי, שלילי או אפס, והאם הוא ממוקם מימין לאפס או משמאלו על גבי ציר המספרים.
שלב ראשון: המספר ארבע גדול מאפס, ולכן הוא מספר חיובי. על ציר המספרים כל מספר חיובי ממוקם מימין לנקודת האפס.
שלב שני: המספר מינוס חמש קטן מאפס, ולכן הוא מספר שלילי. על ציר המספרים כל מספר שלילי ממוקם משמאל לנקודת האפס.
שלב שלישי: המספר אפס אינו חיובי ואינו שלילי. הוא מהווה את נקודת הראשית והייחוס המרכזית על גבי הציר.
תרגיל 2: השוואת מספרים מכוונים על ציר המספרים
רמת קושי: בסיסיקבעו איזה מספר מבין השניים גדול יותר בכל אחד מהזוגות הבאים, ונמקו בעזרת מיקומם על ציר המספרים:
שלב ראשון: בזוג הראשון, המספר שתיים נמצא מימין לאפס, ואילו מינוס שלוש נמצא משמאל לאפס. על ציר המספרים כל מספר הנמצא מימין לאחר הוא גדול ממנו, ולכן שתיים גדול ממינוס שלוש.
שלב שני: בזוג השני, שני המספרים שליליים ונמצאים משמאל לאפס. המספר מינוס שתיים קרוב יותר לאפס ולכן נמצא מימין למינוס שמונה על גבי הציר.
שלב שלישי: מכיוון שמינוס שתיים נמצא מימין למינוס שמונה, מתקיים שמינוס שתיים גדול ממינוס שמונה.
תרגיל 3: חישוב ערך מוחלט כמרחק מנקודת האפס
רמת קושי: בסיסיחשבו את הערך המוחלט של כל אחד מהמספרים הבאים על פי הגדרת המרחק מנקודת האפס:
שלב ראשון: המרחק של המספר מינוס חמש מנקודת האפס על ציר המספרים הוא חמש יחידות. לכן הערך המוחלט של מינוס חמש שווה חמש.
שלב שני: המרחק של המספר ארבע מנקודת האפס הוא ארבע יחידות. לכן הערך המוחלט של ארבע שווה ארבע.
שלב שלישי: המרחק של נקודת האפס מעצמה הוא אפס יחידות. לכן הערך המוחלט של אפס שווה אפס.