אינטרפולציה וקירוב פולינומיאלי

📖 BOOK • 9 עמודים/חלקים • מאת: פניאל מרגליות

אינטרפולציה וקירוב פולינומיאלי

פרק 2 - למידה מודרכת ותרגול מעמיק

מטרות למידה מרכזיות:

1. פולינום האינטרפולציה של לגראנז'

רעיון מרכזי המשמעות של אינטרפולציה פולינומיאלית וקירוב עקומות

אינטרפולציה פולינומיאלית היא אחד הכלים היסודיים ביותר בעיבוד נתונים נומרי ובהנדסה. כאשר בידינו אוסף של מדידות ניסיוניות דיסקרטיות, אנו מחפשים פונקציה רציפה וחלקה שתעבור במדויק דרך כל הנקודות הידועות. משפט היחידות מבטיח שעבור n+1 נקודות שונות קיים פולינום יחיד ממעלה לכל היותר n העובר דרכן.

רעיון מרכזי פולינומי הבסיס של לגראנז'

צורת לגראנז' מציגה את פולינום האינטרפולציה כסכום משוקלל של פולינומי בסיס יסודיים המקבלים ערך 1 בנקודה אחת ומתאפסים בכל האחרות.

P_{n} (x) = \sum_{i = 0}^{n} y_{i} L_{i} (x), L_{i} (x) = \prod_{j = 0, j \neq i}^{n} \frac{x - x_{j}}{x_{i} - x_{j}}

תרגיל 1

רמת קושי: בסיסי

מצאו את פולינום האינטרפולציה העובר דרך שלוש הנקודות (0, 1), (1, 3), (2, 7) באמצעות בסיסי לגראנז', וחשבו את ערכו בנקודה x=1.5:

(x_{0}, y_{0}) = (0, 1), (x_{1}, y_{1}) = (1, 3), (x_{2}, y_{2}) = (2, 7)

פתרון מודרך

שלב 1: נחשב את פולינומי הבסיס של לגראנז' L0, L1, L2.

שלב 2: L0(x) = ((x - 1)(x - 2)) / ((0 - 1)(0 - 2)) = (x^2 - 3x + 2) / 2.

שלב 3: L1(x) = ((x - 0)(x - 2)) / ((1 - 0)(1 - 2)) = (x^2 - 2x) / (-1) = -x^2 + 2x.

שלב 4: L2(x) = ((x - 0)(x - 1)) / ((2 - 0)(2 - 1)) = (x^2 - x) / 2.

שלב 5: נרכיב את הפולינום: P2(x) = 1 L0(x) + 3 L1(x) + 7 L2(x) = 0.5(x^2 - 3x + 2) + 3(-x^2 + 2x) + 3.5(x^2 - x) = x^2 + x + 1.

שלב 6: נציב x = 1.5: P2(1.5) = (1.5)^2 + 1.5 + 1 = 2.25 + 1.5 + 1 = 4.75.

פולינום לגראנז' ריבועי והערכה:

P_{2} (x) = x^{2} + x + 1, P_{2} (1.5) = 4.75

2. הפרשים מחולקים של ניוטון

רעיון מרכזי צורת ניוטון ויעילות הוספת נקודות

צורת ניוטון פותרת את חוסר הגמישות של לגראנז' בעזרת הפרשים מחולקים, המאפשרים להוסיף נקודת דגימה חדשה על ידי הוספת איבר יחיד בדרגת הפולינום הבאה.

P_{n} (x) = f [x_{0}] + \sum_{k = 1}^{n} f [x_{0}, \dots, x_{k}] \prod_{j = 0}^{k - 1} (x - x_{j})

רעיון מרכזי שגיאת אינטרפולציה, תופעת רונגה ונקודות צ'בישב

אינטרפולציה בפולינום ממעלה גבוהה על נקודות במרווחים שווים עלולה להוביל לתנודות פראיות ליד קצוות הקטע (תופעת רונגה). בחירת נקודות צ'בישב ממזערת את השגיאה המקסימלית ומדכאת תנודות אלו.

E_{n} (x) = \frac{f^{(n + 1)} (ξ)}{(n + 1)!} \prod_{i = 0}^{n} (x - x_{i}), x_{k} = \cos (\frac{2 k + 1}{2 n + 2} π)

תרגיל 2

רמת קושי: בינוני

בנו טבלת הפרשים מחולקים עבור הנקודות (-1, 4), (0, 1), (2, 1), (3, 8) ורשמו את פולינום ניוטון המתקבל:

(x_{k}, y_{k}) \in {(- 1, 4), (0, 1), (2, 1), (3, 8)}

פתרון מודרך

שלב 1: סדר 0: f[-1] = 4, f[0] = 1, f[2] = 1, f[3] = 8.

שלב 2: סדר 1: f[-1, 0] = (1 - 4)/(0 - (-1)) = -3. f[0, 2] = (1 - 1)/(2 - 0) = 0. f[2, 3] = (8 - 1)/(3 - 2) = 7.

שלב 3: סדר 2: f[-1, 0, 2] = (0 - (-3))/(2 - (-1)) = 3/3 = 1. f[0, 2, 3] = (7 - 0)/(3 - 0) = 7/3.

שלב 4: סדר 3: f[-1, 0, 2, 3] = (7/3 - 1)/(3 - (-1)) = (4/3) / 4 = 1/3.

שלב 5: נרשום את הפולינום לפי האלכסון העליון: P3(x) = 4 - 3(x + 1) + 1(x + 1)x + (1/3)(x + 1)x(x - 2).

פולינום ניוטון מהפרשים מחולקים:

P_{3} (x) = 4 - 3 (x + 1) + x (x + 1) + \frac{1}{3} x (x + 1) (x - 2)

🔒

המשך חומר הלימוד זמין למנויים

התחברות לחשבון מנוי ←

אינטרפולציה וקירוב פולינומיאלי

אינטרפולציה וקירוב פולינומיאלי

מטרות למידה מרכזיות:

1. פולינום האינטרפולציה של לגראנז'

תרגיל 1

2. הפרשים מחולקים של ניוטון

תרגיל 2

המשך חומר הלימוד זמין למנויים

🗺️ שלבי הקורס והתקדמות

📚 חומרי לימוד